Esqueceu? Dormiu na aula? Guia 4001 CN: Matemática

Introdução

A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados sob certas condições.

Princípio Fundamental da Contagem

Se determinado evento ocorre em n etapas, e se a primeira etapa pode ocorrer de k₁ maneiras diferentes, a segunda de k₂ maneiras diferentes, e assim sucessivamente até que a última etapa possa ocorrer de K_n maneiras diferentes, então o número total M de maneiras de ocorrer o evento é dado por: M = k₁ · k₂ · k₃ · ... · k_n

Exemplo:

Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de seqüencias possíveis cara e coroa?

Indiquemos por K cara e C coroa.

Queremos o número de diferentes sequências (a,b,c) que podemos formar, onde a, b e c pertencem ao conjunto {K,C}, ou seja, são 2 possibilidades para cada lançamento.

Logo, o número total de sequências é: M = 2 · 2 · 2 = 8

Arranjos Simples

Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos simples de n elementos em grupos de p elementos é dado por:

Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos tomados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.

Exemplos:

1) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?

Solução:

Os números formados devem ter três algarismos, por exemplo, 123. Invertendo-se a ordem des-tes algarismos, obtemos novos números, portanto, o problema é de arranjo simples.

Logo temos,

números de três algarismos distintos.

2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5?

Solução:

Como os números devem ser divisíveis por 5, os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5. Logo, dos seis algarismos que tínhamos para trabalhar nos restam cinco, dos quais vamos tomar três a três. Uma das possíveis respostas, por exemplo, 2345; se invertermos a ordem dos seus elementos teremos o número 4325, que é outra resposta do problema. Logo o problema proposto é de arranjos simples.

Com isso,

temos números de quatro algarismos distintos divisíveis por 5.

Combinações Simples

Combinação simples é o tipo de agrupamento, sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes, isto é, duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto é:

Exemplos:

1) Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas ?

Solução:

As comissões formadas devem ter 3 pessoas, por exemplo, A, B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos a mesma comissão. Portanto, o problema é de combinação.

Logo, podemos formar 10 comissões.

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

Solução:

a) Com os 13 pontos, podemos obter C 13,3 triângulos.

Se tomarmos os três pontos sobre a mesma reta, não formaremos um triângulo, com isso, o total de triângulos obtidos é dado por:

b) Se tomarmos dois pontos sobre a mesma reta e um ponto na outra reta, o total de triângulos obtidos é dado por:

Permutações Simples

Permutações simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo. A permutação simples é um caso particular de arranjo simples.

O número de permutações simples que se podem formar com n elementos é igual ao fatorial de n, ou seja: